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Barbara Burtscher
Martin Signer

Zeeman-Effekt

1.1. Ziel des Versuches
1.2. Energie des magnetischen Momentes im B-Feld
1.3. Erwartungen an das Resultat
1.4. Die Lummer-Gehrcke-Platte

2.1. Versuchsanordnung
2.2. Direkte Winkelmessung

3.1. Bestimmung von M0
3.2. Bestimmung von gJ

4.1. Messung der Länge S (Drehachse – Mikrometerschraube)
4.2. Bestimmung des Magnetfeldes B mit Hilfe der Flipspule
4.3. Messungen der Spektrallinien für gelb
4.4. Messungen der Spektrallinien für blau

5.1. Allgemein:
5.2. Auswertung des gJ-Faktors für gelb
5.3. Auswertung des gJ-Faktors für blau
5.4. Fehlerrechnung

7.1. Brechungsindex n für Lummerplatte
7.2. Erläuterungen zu den Excel-Tabellen
7.3. Excel-Tabelle für Gelb
7.4. Excel-Tabelle für Blau-Grün

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Das Ziel dieses VP Versuches ist, anhand des Zeeman-Effektes den Landé’schen g-Faktor für Mehrelektronensysteme zu bestimmen. Das Anlegen des Magnetfeldes an ein Atom bewirkt eine Aufspaltung gewisser Energieniveaus von Elektronen. Dies zeigt sich darin, dass die Spektrallinien entsprechend aufgeteilt werden. Und zwar in zwei verschobene Spektrallinien (σ+, σ-) und in eine Unverschobene ( π )

Abbildung 1 : Energieniveau-Schema

Dabei wird in diesem Experiment nun die Aufspaltung von Spektrallinien durch ein Magnetfeld an zwei Dipolübergängen in Neon beobachtet. Es handelt sich jeweils um Übergänge zwischen zwei angeregten Zuständen. Der Vorteil davon ist, dass sie sich im sichtbaren Bereich befinden und wir sie gut beobachten können (gelb und blau-grün).

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Elektrisch geladene Teilchen, die sich auf einer Kreisbahn bewegen, besitzen ein magnetisches Moment. Da ein Atom mit mehreren Elektronen betrachtet wird, addieren sich die Bahn- und Eigendrehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls J. Im zeitlichen Mittel resultiert parallel dazu ein magnetisches Moment

(1)

wobei

(2)

das Bohr’sche Magneton und der Landé’sche g-Faktor ist. Die Hülle des Atoms besitzt somit in einem Magnetfeld eine zusätzliche Energie:

(3)

Wählt man nun die z-Achse zur Quantisierung in die Richtung des angelegten Magnetfeldes, so gilt . Wobei die magnetische Quantenzahl ist, welche ganzzahlige Werte zwischen –J und J annehmen kann. Es ist also,

(4)

Im Experiment werden zwei Dipolübergänge zwischen je zwei angeregten Zuständen von Neon untersucht, da Übergänge zum Grundzustand nicht im sichtbaren Spektralbereich liegen. Die beiden Übergänge, die im Experiment betrachtet werden, gehen also von einem Zustand mit J=0 in einen mit J=1 über. Für J=1 kann mJ die Werte -1, 0 und 1 annehmen. Nach Gleichung (4) entstehen also durch Anlegen eines Magnetfeldes B aus einem entarteten Energieniveau mit J=1 drei Niveaus unterschiedlicher Energie (siehe Abbildung 1). Die Auswahlregel für Dipolübergänge erlauben folgende Übergänge;


Somit beobachtet man statt je einer Spektrallinie nun je drei. Die Energieaufspaltung beträgt dabei:

(5)

Das Licht der unverschobenen Spektrallinie ist linear polarisiert (π), dasjenige der verschobenen zirkular polarisiert (σ+, σ-). Diese Tatsache lässt sich zum Unterscheiden der verschobenen, bzw. unverschobenen Spektrallinie ausnützen. Mit Hilfe eines Interferenz-Spektrometers werden die Frequenzen der Spektrallinie ausgemessen und daraus die Energiespaltung bestimmt. Mittels einer Flip-Spule kann das Magnetfeld ermittelt und schliesslich der Landé’sche g-Faktor errechnet werden:

, wobei in unserem Fall ist

(6)

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Die Elektronenkonfiguration von Neon im Grundzustand ist (1s)^2;(2s)^2;(2p)^6;. Die beobachteten Übergänge können vereinfacht als Übergänge vom Zustand mit der Konfiguration (2p)^-1(3p)^1 (J=0) zum Zustand mit (2p)^-1(3s)^1 (J=1) beschrieben werden. Eigentlich führen die Übergänge von

(1s)^2(2s)^2(2p)^5(3p)^1 nach (1s)^2(2s)^2(2p)^5(3s)^1

Da die zwei ersten Orbitale aber voll sind, ist die Vereinfachung gerechtfertigt. Somit haben wir unser Zehnelektronensystem auf ein Zweielektronenproblem reduziert und der Landé’sche g-Faktor kann einfacher berechnet werden. Wenn ausschliesslich L-S-Kopplung auftritt, d.h. der Gesamtbahndrehimpuls koppelt mit dem Gesamtspin zu J, so berechnet sich der Landé’sche g-Faktor wie folgt:

(7)

Dominiert hingegen die j-j-Kopplung, d.h. Spin- und Bahndrehimpuls koppeln einzeln pro Elektron und addieren sich anschliessend zum Gesamtdrehimpuls, so erhält man folgendes Resultat:

(8)

Wobei sich und mit folgender Formel berechnen lassen:

i = 1, 2

(9)

In der Wirklichkeit treten nicht nur eine der beiden Kopplungen auf, sondern es kommen beide Arten gleichzeitig vor. Die L-S-Kopplung bei beiden Übergängen ist stärker als die j-j-Kopplung. Allerdings sieht man, dass der g-Faktor von 1 und 3/2 nun abweicht. Dies liegt an der j-j-Kopplung.

In unserem Experiment sehen wir, dass der Wert tatsächlich messbar abweicht. Dies liegt daran, dass das Neon Atom schon genug schwer ist, um diese j-j-Kopplung zu messen.

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Die Lummerplatte ist eine exakte planparallel geschliffene Glasplatte. Sie ist für spektroskopische Messungen mit sehr hoher Auflösung geeignet. Sie benötigt allerdings eine Vorzerlegung des Lichtes durch z.B. ein Prisma, da sie auf einmal nur einen kleinen Spektralbereich verarbeiten kann. Der Strahl wird innerhalb der Platte hin und her reflektiert. Links und rechts der Platte treten die Strahlen streifend aus.
Die austretenden Strahlen, welche grosse Gangunterschiede aufweisen, werden anschliessend durch eine Linse vereinigt und ergeben Interferenzmaxima in ihrer Brennebene.
Hauptmaxima in der Intensität erbeben sich unter jenen Winkeln Θ0 , bei denen je zwei der austretenden Strahlen als optische Gangdifferenz gerade ein ganzes Vielfaches M der Wellenlänge haben. M ist hier die Ordnungszahl des Hauptmaximums. Für eine bestimmte Wellenlänge λ gilt folgende Beziehung;

Somit kann man die Ordnung M eines Hauptmaximums bestimmen.

Nach der Auflösung nach dem Sinus-Term und einer Taylor-Entwicklung aufgrund kleiner Abweichungen ±Δλ von λ0 – wie wir sie für die verschobenen Linien in unserem Experiment vorfinden – erhalten wir durch Subtraktion der beiden resultierenden Gleichungen eine Gleichung für Δλ.

Mit


erhält man schlussendlich für die gesuchte Zeemanaufspaltung:

(11)

Für die innerste Ordnung M0 erhalten wir näherungsweise aus der Gleichung (10) die sehr grosse Zahl:

(12)

Um die Interferenzmaxima von Lichtwellen zweier nahe beieinander liegenden Wellenlängen unterscheiden zu können, muss das Maximum der Welle λ + Δλ auf das erste benachbarte Minimum der Welle λ fallen. Aus dieser Überlegung folgt das hohe Auflösungsvermögen.

(13)

Hierbei ist N die Anzahl der total interferierenden Strahlenbündel.

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Die Versuchsanordnung ist geprägt durch die Interferenz-Spektroskopie. Abbildung 2 zeigt schematisch den optischen Aufbau des Experiments. Die Neonröhre befindet sich exakt zwischen den Polschuhen des Elektromagneten. Die Sammellinse fokussiert das Licht der Leuchtsäule der Neonröhre auf den Eintrittsspalt des Kollimators, welcher ein Bündel paralleler Lichtstrahlen – ebene Wellen – erzeugt.

Anschliessend durchläuft dieses Licht das Lummerspektrometer, welches aus einem drehbaren Prisma zur Frequenzauswahl (gelb und blau-grün) und aus einer Lummer-Gehrcke-Platte zur Interferenzerzeugung besteht. Die aus der Lummerplatte links bzw. rechts austretenden Lichtwellen werden durch die Eintrittslinse des schwenkbaren Fernrohrs zur Interferenz gebracht.

Mit Hilfe einer Mikrometerschraube wird dann das Fernrohr geschwenkt und somit präzise ausgerichtet, um damit nun die Abstände zwischen den Spektrallinien auszumessen. Zur besseren Unterscheidung der verschobenen und unverschobenen Spektrallinien, kann die Polarisationsrichtung der Strahlen verwendet werden, da die π-Linie linear polarisiert ist und die σ-Linien zirkular polarisiert sind.

Um diese Tatsache zu nutzen, wird ein Polarisationsfilter in den Strahlengang mit eingebracht. Mit diesem Filter kann man dann die jeweils nicht erwünschten Linien ausblenden.
Somit kann mit dem eingebauten schwarzen Faden des Fernrohrokulars links und rechts der Lummerplatte die Winkel einzelner Ordnungen der Beugungsmaxima der Spektrallinien ausgemessen werden.

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Die Frequenzunterschiede zwischen den aufgespalteten Linien zu bestimmen, beruht auf der Methode der direkten Winkelmessung. Die Interferenzmuster links und rechts des Schattens der Lummerplatte sind spiegelsymmetrisch.

Der Beugungswinkel der beobachteten Ordnung kann daher einfach aus dem gemessenen Abstand A der zwei entsprechenden Linien und der gegebenen Distanz S vom Drehpunkt des Fernrohrs bis zum Auflagepunkt der Mikrometerschraube folgendermassen ermittelt werden:

Die Werte für die Aufspaltung A werden wie folgt bestimmt:

(15)

Man stellt das Magnetfeld so stark ein, dass die Zeeman-Tripletts gut erkennbar sind. Das Magnetfeld wird nun mit Hilfe einer Flipspule mehrfach gemessen, um den statistischen Fehler abzuschätzen;

Bewegt man eine Spule durch ein räumlich inhomogenes Magnetfeld, so wird nach dem Faraday-Gesetz an ihren Enden eine Spannung induziert. Somit lässt sich durch zeitliche Integration der Spannung die totale Felddifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt der Bewegung berechnet. Die Spule wird somit aus der Mitte zwischen den Polschuhen in den feldfreien Raum ausserhalb des Elektromagneten bewegt.

Danach wählt man durch Drehen des Prismas den zu beobachtenden Frequenzbereich aus und positioniert die Sammellinse so, dass die Linien scharf abgebildet werden. Dazu muss auch der Eintrittsspalt des Kollimators so klein wie möglich gehalten werden.

Für das eingestellte Magnetfeld wird nun die Zeemanaufspaltung an den innersten vier Ordnungen bestimmt. Die Linien links und rechts werden mehrmals ausgemessen. Dies wird zuerst für den Frequenzbereich ’gelb’, danach auch für ’blau-grün’ durchgeführt. Am Schluss misst man nochmals das Magnetfeld, um zu überprüfen, ob sich die Stärke des Elektromagneten während dem Experiment verändert hat.

Zuerst werden ihre Ordnungszahlen aus den Winkelmessungen der entsprechenden unverschobenen Linie gemäss Gleichung (10) ermittelt. Überlegungen zur Lummer-Gehrcke-Platte (siehe Abschnitt 1.4) führen dann zur Gleichung (11), anhand der die Frequenzunterschiede zwischen verschobenen und unverschobenen Linien berechnet werden können. Dabei misst man die Winkelwerte der verschobenen Linie für die vier Ordnungen und setzt die erhaltenen Grössen in diese Beziehung für Δν ein. Gemäss Gleichung (6) bestimmt man daraus die gesuchten g-Werte.

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Für die Bestimmung von M0 benötigen wir lediglich die Wellenlänge λ, die Dicke der Lummerplatte d und den Brechungsindex der Lummerplatte n, so dass wir durch die Beziehung von Formel (12) auf folgende Werte kommen:

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Zur Berechnung des gJ-Faktors verwenden wir der Reihe nach die Formeln (14), (10), (11) und (6).
Äquivalent dazu ist auch die Formel:

(17)

welche wir erhalten, nachdem wir alle benötigten Formeln in die Gleichung (6) eingefügt haben, konnten wir sie zu obiger Formel vereinfachen.
Mit Stichproben wurde ihre Richtigkeit zusätzlich verifiziert. Die präsentierten Resultate wurden jedoch damit nicht berechnet. Sie dient nur zur Überprüfung der erhaltenen Resultate.

Die jeweiligen Zwischenschritte für die Errechnung von gJ werden in Kapitel 5 genau erläutert.
Unsere erhaltenen Grössen sind folgende:

Unsere Resultate sind somit also kompatibel zu den Literaturwerten, welche gut innerhalb des von uns berechneten Fehlers liegen.

Somit können wir diesen Versuch als gelungen bezeichnen.

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Um das B-Feld mit der Flipspule bestimmen zu können, wurde der unterschied des Feldes innerhalb zu ausserhalb der Magnetspule mittels eines Integrators gemessen. Vermöge der Formel (16) kann daraus dann das Magnetfeld bestimmt werden.

Wir haben die Messung des B-Feldes auch noch ein zweites Mal am Ende des Versuchs durchgeführt, um zu überprüfen, ob sich das Magnetfeld während dem Experiment verändert hat. Jedoch hatte der Integrator unglücklicherweise einen sehr grossen Drift, so dass es einen grossen Unterschied ergab, wie schnell wir die Flipspule aus dem Magnetfeld bewegten. Geschah dies sehr rasch, so stimmten die Werte mit den in Tabelle 8 vorkommenden sehr gut überein. Die Werte wurden allerdings beliebig grösser, je langsamer man die Flipspule aus dem Magnetfeld bewegte. Wir entschieden uns deshalb, die zweiten Messungen nach dem Experiment zu vernachlässigen. Zudem hat der Fehler des Magnetfeldes keinen grossen Einfluss auf das Resultat (Erläuterungen siehe Abschnitt 5.4).

Der Brechungsindex n der Lummerplatte, sowie die Ableitung dn/dλ haben wir aus der Graphik im Anhang 7.1 heraus gelesen. Die auf diese Weise von uns bestimmten Werte sind:

Anbei noch eine Liste der benötigten Grössen, welche aus der Literatur gegeben sind:

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Zur Bestimmung des gJ-Faktors gingen wir wie folgt vor:

- Als erstes bestimmten wir mit Hilfe der Flipspule und dem Spannungsintegrator das von uns angelegte B-Feld. Die Berechnung geschieht nach Formel (16). Aus der Mittleren Grösse aus Tabelle 8 erhält man so einen Wert von B = 0.36836 T.

- Aus den gemessenen Grössen der Spektrallinien von Tabelle 11 bis Tabelle 16 wird der Winkel Θ mittels Formel (14) für jeweils die unabgelenkten Spektrallinien π, sowie für die äusseren und inneren abgelenkten Spektrallinien σ bestimmt. Dies liefert insgesamt 3x4 Werte pro Farbe für Θ.

- Als nächstes berechneten wir die Ordnung M nach Formel (10). Hierfür werden die Werte Θm, der unabgelenkten π-Linien benötigt. Die restlichen Werte sind gegebene Grössen.

- Nun haben wir alle für Δν erforderlichen Werte und wenden darauf Formel (11) an.

- Schlussendlich haben wir alle für den gJ-Faktor benötigten Grössen, der jetzt nach Formel (6) bestimmt werden kann.

Wir berechneten diese Schritte jeweils für jede Ordnung einzeln. Erst am Schluss werden die Mittelwerte der vier erhaltenen Grössen gebildet.

Im Folgenden werden nur noch die einzelnen Zwischenresultate aufgelistet. Die explizite Ausrechnung der Werte erfolgte über Excel-Tabellen, welche im Anhang 7.3 und 7.4 gut erklärt zu finden sind.

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Um die Fehler zu bestimmen, haben wir uns der tollen Eigenschaft der Excel-Tabelle bedient, die Einflüsse von Änderungen an Werten auf das Resultat zu beobachten.

Als fest gegebene Grössen – und somit auch ohne Fehler behaftete Grössen – erachten wir folgende:

Alle übrigen vorkommenden Grössen werden hier kurz angesprochen und deren Fehler diskutiert.

Ein Fehler im B-Feld rührt in unserem Versuchsaufbau einzig von der Messung der Spannung durch den Spannungsintegrator her. Dafür betrachten wir lediglich den statistischen Fehler unserer Messreihe. Das ist also die Wurzel der Varianz dieser Messungen, und beträgt in unserem Falle ±0.00632 V.
Diesen Wert in Formel (11) berücksichtigt, liefert den Fehler auf das B-Feld von ±0.0005 T. Wenn wir diesen Fehler in Formel (6) einschleusen, so ergibt dies eine Veränderung von ±0.002, also erst in der 3. Ordnung.
Auch wenn dieser Fehler eher vernachlässigbar ist, so haben wir ihn doch im Resultat berücksichtigt.

Die Werte n und dn/dλ wurden aus der Abbildung 4 im Anhang 7.1 herausgelesen. Für n nehmen wir einen Fehler von ±0.0002 an, was der Auflösung des Graphen entspricht. Ändern wir n um diesen Fehler, so entsteht beim Resultat eine Differenz von ±0.0001. Somit ist der Fehler von n vernachlässigbar klein.
Die Bestimmung der Steigung dn/dλ ist etwas ungenauer. Der Wert liegt bei etwa -53000 für Gelb und bei etwa -67000 für Blau. Jedoch kann dieser Wert um ganze drei Grössenordnungen geändert werden, und der resultierende Fehler entspricht dann höchstens ±0.003. Dieser Fehler ist demnach zweifelsohne vernachlässigbar.

Der so noch einzig bleibende Fehler auf die Messung von A ist somit auch die Hauptursache des Fehlers auf den gJ-Faktor. Wir haben uns für die maximale Differenz zwischen den gemessenen Werten entschieden, welche wir bei der Verrechnung zu A addiert haben. Zur Bestimmung von Θ haben wir den jeweiligen Fehler für Θi abgezogen, und für Θm und Θa hinzugefügt. So erhielten wir für die vier Ordnungen von gJ noch einen zweiten Wert mit Fehler, welchen wir von unserem „richtigen“ Wert abzogen, und so unseren schlussendlichen Fehler erhielten.
Die Ausführung ist aus Abbildung 6 und Abbildung 7 ersichtlich.

Die so erhaltenen Fehler sind:

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[1] Universität Zürich, Anleitung zum VP–Zeeman–Versuch (http://www.physik.unizh.ch/teaching/vp/Blockkurs_Phy3/Zeeman.pdf), 06.02.2006

[2] E. Condon, U. Edward: Handbook of physics, Verlag McGraw-Hill Companies, 1958, Seite 7 ff

[3] Paul A. Tipler, Ralph A. Llewellyn: Moderne Physik, Oldenbourg Wissenschafts Verlag, Oktober 2002

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7.3. Excel-Tabelle für Gelb

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7.4. Excel-Tabelle für Blau-Grün

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